Residue en Octave

En esta primera entrada para el labortorio voy a explicar una función de suma importancia en Octave para la clase de Automatización y control de sistemas dinámicos, se pretende que al leer esta entrada se pueda comprender el uso de la herramienta Octave para poder sacar los residuos.

¿Qué son las Fracciones Parciales?
En álgebra, la descomposición en fracciones parciales es un procedimiento que se utiliza para poder reducir el grado ya sea del numerador o del nominador de una función racional, existen diferentes casos en donde debemos descomponer en factores, de tal manera que se nos facilite la solución de algún problema.

Entre los casos que podemos mencionar los siguientes:

Caso 1. Factores lineales distintos.
A cada factor lineal (ax + b) le corresponde una fracción de la forma:

Caso 2. Factores lineales repetidos.
A cada factor lineal repetido (ax + b)^k le corresponde la suma de k fracciones parciales de la forma:

Caso 3. Factores cuadráticos distintos.
A cada factor cuadrático (ax^2+bx+c) le corresponde una fracción de la forma:

Caso 4. Factores cuadráticos repetidos.
A cada factor cuadrático repetido (ax^2+bx+c)^k le corresponde la suma de k fracciones parciales de la forma:

Existen más casos, pero estos son los más comunes.


¿Qué es la función residue en Octave?

Existen un número de funciones en Octave con el fin de manipular los polinomios entre ellas esta la función residue en donde se encuentran los siguientes parámetros:

[R, P, K, E] = residue(a, b)

• a = vector que incluye los coeficientes de los polinomios en la parte superior.
• b = vector que incluye los coeficientes de los polinomios en la parte inferior

Si ambos son vectores con coeficientes de los polinomios, se calcula el residuo de expansión de fracción parcial correspondiente a la relación de los dos polinomios.

Teniendo como resultado 3 parámetros R, P y K.

• R = vector que contiene los términos de residuos.
• P = contiene los valores de los polos.
• K = contiene los términos independientes

Como parámetro opcional se puede definir un tercer valor a la función residue para agregar la toleracia, en donde por default es .001 y regresar el vector E que contiene las potencias de los denominadores en los terminos de las fracciones parciales.

¿Cómo funciona esta función?


Suponiendo que tenemos la siguiente función:

Podemos utilizar la función residue de Octave para sacar sus fracciones parciales de una manera muy sencilla, vamos a capturar en un vector los coeficientes de la parte del numerador y del denominador de la siguiente manera: [1, 14],[1,3,3,1]

Estos son los valores que entran en la función residue, como saben ponemos en el terminal, octave y luego ponemos la función de este modo: [R, P, K] = residue([1,14],[1,3,3,1])

Obtenemos el siguiente resultado:

Como dijimos anteriormente, obtenemos el residuo (R), los polos (P) y los términos independientes (K).
Ahora hace falta construir las fracciones parciales con estos valores, por lo que tendríamos algo como esto.

En donde decimos que:

Y tenemos como fracciones parciales.

Espero que con este ejemplo puedan desintegrar fácilmente cualquier función racional, ya que con esto ayudamos a derivar e integrar con términos más simples.

Esto sería todo para la primera entrada del laboratorio.