Lab 7: Matriz de ganancia K

Ejercicio 11.3: Determinar la matriz de ganacia K de manera que los polos en lazo cerrado del sistema

sean s¹ = -1 y s² = -2.

Utilizar la retroalimentación de estados u = -Kx

Podemos decir que, dado el sistema de una o varias entradas y un vector p deseados en ubicaciones auto-conjugadas para polos en lazo cerrado, se utiliza la función place en octave la cual calcula una matriz de ganancia K tal que la retroalimentación de estado u = -Kx colocando los polos en lazo cerrado en p ubicaciones.

octave:1> A = [0, 1; -1, 2]

A =

   0   1

  -1   2

octave:2> B = [1;1]

B =

   1

   1

octave:3> C = [1;-1]

C =

   1

  -1

octave:4> polos = [-1, -2]

polos =

  -1  -2

Esto quiere decir que los valores propos de A - BK coinciden con las entradas de p.

K = place(A, B, p) pone el lazo cerrado según los polos p calculado una matriz de ganancia de retroalimentación, todas las entradas de la planta asumen que  son entradas de control y la longitud del vector p debe concidir con el tamaño menor de la fila de las matrices, funciona en sistemas de múltiples entradas y se basa en un algoritmo que usa los grados de libertad adicionales para encontrar una solución que minimice la sensibilidad de los polos en lazo cerrado en las perturbaciones A o B.

octave:5> [K, prec] = place(A, B, polos)

K =

   1   1

prec =

  scalar structure containing the fields:

    nfp = 0

    nap =  1

    nup =  1

    z =

       0.70711  -0.70711

       0.70711   0.70711

Como resultado [K, prec] = place(A, B, p)devuelve en prec una estimación de la precisión con los valores propios de A-BK especificadas en p, midiendo el número de dígitos decimales exactos en el actual ciclo cerrado y la matriz de ganancia K.

octave:6> plot(place(A,B,polos))

Vemos la gráfica no cambia ya que la matriz de ganancia K generada tiene como valores 1, por lo que tenemos una ganancia de retroalimentación nula.

Reporte final automatización.

Para la materia de automatización y control de sistemas dinámicos del semestre Agosto-Diciembre 2012, estuvimos trabajando en el proyecto de ajuste de volumen de sistemas en donde controlamos el volumen del sonido en una bocina o altavoz, que depende directamente del ruido que se encuentra en el entorno.

Por lo tanto, para nuestro proyecto podemos decir que si por ejemplo estamos reproduciendo una canción en una habitación y en determinado momento entra gente a platicar o hay algún ruido externo inesperado, el volumen del dispositivo que está emitiendo el sonido de la canción va aumentando paulatinamente para que se continue escuchando la canción.

Podemos decir que la importancia de nuestro proyecto es por ejemplo en sistemas en automóviles, en donde el volumen de la música dentro del auto aumenta cuando el motor emite mucho ruido, en cambio cuando este está detenido, el volumen baja, cuando las personas en alguna empresa tienen audifonos en donde se les transmiten comandos a realizar, pero el sonido de la planta es muy fuerte, se controla el volumen de lo que se emite.

Diagrama de bloques.

En donde tenemos como entrada y salida:

• Salidas: 
• El audio de la canción o video reproduciendo actualmente a un volumen ajustado automáticamente por el programa.
• Entradas:
•  El ruido del ambiente y en base a esto se hace un cambio en el volumen.

En donde generamos la función de tranferencia:

Usamos Python como lenguaje de programación, haciendo uso de las siguientes librerias.

• Alsaaudio:
•  Sirve para controlar el nivel del volumen.
• Audioop:
•  Regresa el valor máximo absoluto de un tramo de datos captado como sonido.
• Time: 
• Usamos esta librería para controlar el tiempo de ejecución en la recepción del ruido.

En el siguiente diagrama vemos la arquitectura de sistema lógico en donde podemos ver la secuencia que realiza el sistema y cómo va cambiando el volumen.

Diapositivas.

Código.
Demo

Lab 6: Observable y Controlable

B.12.1   Sea el sistema definido por

donde

Transforme la ecuación del sistema en

• (a) la matiz controlable.
• (b) la matriz observable.

Después concluir sobre su resultado.

Por lo tanto, como sabemos Octave tiene las funciones en donde podemos obtener dichos resultados, primero que nada vamos a hacer la forma canónica controlable, en donde vamos a utilizar la función ctrb(A, B) del paquete de control, obtenemos lo siguiente:

octave:1> A = [-1,0,1;1,-2,0;0,0,-3] 

A =
  -1   0   1     

   1  -2   0    

   0   0  -3

octave:2> B = [0;0;1] 

B =
   0    

   0    

   1

octave:3> pkg load control

octave:4> Pc = ctrb(A, B) 

Pc =
   0   1  -4    

   0   0   1    

   1  -3   9

Ahora, en esta matriz de controlabilidad tenemos un sistema que es lineal completamente controlable si y sólo si la matriz Pc = [B AB A^2*B ... A^N*B] tiene un rango completo, donde tenemos la A como una matriz de n x n para sistemas lienales de una entrada, el sistema es controlable si y solo si el determinante de la matriz de controlabilidad Pc es distinto a cero, por lo que vamos a verificarlo.

octave:5> det(Pc) 

ans =  1

Por lo tanto concluimos que el sistema es completamente controlable.

Después se nos pide sacar la matriz de observabilidad, lo vamos a sacar con la función obsv(A, C), y analizamos su resultado.

octave:6> A = [-1,0,1;1,-2,0;0,0,-3] 

A =
  -1   0   1    

   1  -2   0    

   0   0  -3

octave:7> C = [1,1,0] 

C =
   1   1   0

octave:8> Po = obsv(A, C) 

Po =
   1   1   0    

   0  -2   1  

  -2   4  -3

octave:9> det(Po)ans = 0

Ahora se nos dice en la teoria matriz de observabilidad vemos que el sistema lienal es completamente observable si y solo si la matriz de observabilidad Po tiene un rango completo, Para sistemas lineales con una unica entrada y una unica salida, el sistema es observable si y solo si el determiante de la matriz de observabilidad Po es distinto a 0, en nuestro caso podemos decir que nuestro sistema no es completamente observable ya que el determinante de dicha matriz nos da como resultado exactamente 0.

Fin de la actividad.

Reporte grupal

Proyecto de Automatización: Control de volumen automático
Equipo:

• Ramon González 
• Roberto Martínez
• Cecilia Urbina 

LaTeX

Aplicaciones de Automatización y Control

Para esta semana nos toca investigar acerca de una aplicación que utiliza los conceptos aprendidos en clase, por lo que realizamos una búsqueda en google scholar en donde encontramos algún paper y explicarlo en esta entrada, por lo que yo estuve buscando algo relacionado con mi proyecto y exponer un breve resumen de lo leído  este es un paper llamado Active Noise Control System from Headphone Applications [1], escrito por Sen. M. Kuo, Sohini Mitra y Woon-Seng Gan.

En el paper que estuve leyendo vemos un diseño y una implementación de un sistema adaptativo en el cual podemos capturar el sonido exterior para crear un ambiente de menos sonido dentro de la capucha del audífono en donde se busca primero que nada el no utilizar mucho los recursos del micrófono que captura el ruido exterior y que también pueda predecir ese parámetro para crear una segunda fase en la cual se tiende que la señal del error tienda a 0.

Actualmente existen sistemas que utilizan una versión del Active Noise Control[2] en donde constantemente se captura el ruido y va comprando esa salida con lo que se genera de entrada para apegarse a que no exista más ruido exterior al que se tiene dentro de los audífonos  ellos consideran que este modelo no es lo suficientemente eficiente y por eso escriben ese paper para demostrar que sería mejor hacer ciertas modificaciones por el ejemplo el colocar de manera estratégica el micrófono para que solamente cada cierto tiempo de manera de entrada se capture ese dato y por medio de un procesamiento pueda ir adaptando de una mejor manera la señal de exaltación interior de la capucha, que en este caso utilizan música, aunque pudiera ser alguna otra cosa como audífonos especiales para ingeniería en donde se reciben comandos hablados[3] pero en el lugar donde se posicionan existe mucho ruido, llámese una planta o en alguna máquina, se necesita que el trabajador pueda escuchar estos comandos a pesar del ruido exterior.

Lo que hacen es tener una señal de referencia z que se captura de la fuente de ruido, para luego de esta entra a un procesado en donde procuran que la señal de control que altera el speaker interior de la capucha para producir un llamado antinoise que hace el aumento o disminución del audio producido, el micrófono por su parte mide el ruido residual y lo miniza por medio del procesamiento que genera al ANC al tratar de imitar o sintetizar la señal de referencia en lugar de utilizar el micrófono en si, si no que se tiene de una manera artificial ahorrando recursos y haciendo incluso el diseño de un ANC normal de manera más compacta, ya que los que se utilizan ellos nos dicen que tienen múltiples micrófonos, convirtiendo la señal digital a analógico de cada uno de ellos.

Por lo tanto, podemos decir que ellos en base a conceptos algoritmos adaptativos , ellos utilizan uno llamado FXLMS[4] que es el filtrado de la media cuadrada y poniendola como en una segunda forma de función de transferencia modelada para tomar los datos sintetizados del micrófono y generar la salida, también en base a la materia de control, ellos explican como diseñaron su sistema, al igual que uso de electrónica vista en materias de computo integrado.

Considero que este diseño que exponen es interesante, pero aunque se necesiten más recursos para estar captando y actualizando el ruido exterior resulte más costoso que de esta forma, creo que podemos tener un mejor audio interno actualizando a lo que está pasando en el exterior y no de una manera artificial, aunque ellos demuestren lo contrario.

Referencias.
[1] Active Noise Control System for Headphone Applications - Sen M. Kuo, Sohini Mitra -Liga
[2] Active Noise Control - Liga
[3] Electronic Hearing NoiseBuster - (Empresa que hace este tipo de audifonos) - Liga
[4] Algoritmo FXLMS - Liga

Lab 5: Factores cuadráticos

B.8.6 Dado

 Demuestre que:

Para poder demostrar estuve investigando como podemos decir que eso es correcto, por lo que primero que nada debemos de entender que la salida en estado estacionario de una función de transferencia de un sistema lo podemos obtener mediante la función de transferencia sinusoidal, esto quiere decir, que vamos a sustituir lo que es jωn en cada s que tenemos en nuestra función de transferencia, en donde la ω es la frecuencia , y la ωn es la frecuencia esquina para el factor cuadrático, ahora vamos a proceder con las formulas dadas.

Sustituimos

 Lo ponemos de modo que tengamos los factores cuadráticos en base a los 4 factores básicos que nos proponen en el libro, tenemos:

Por lo tanto, como sabemos, tenemos números complejos y partiendo de que cerca de la frecuencia ω = ω_n, hay un pico de resonancia, el factor de amortiguamiento relativo determina la magnitud de este pico, por lo tanto consideramos que son 1 y el numero complejo al cuadrado es -1, decimos que:

Por lo que hemos demostrado que:

 

Bibliografía.

[1] Chapter 8: Frecuency analysis, Modern Control Engineering, Fifth Edition, Katsuhiko Ogata.

Programa 1: Análisis de respuesta y estabilidad de

Para esta semana la tarea de la materia de Automatización consiste en realizar un análisis en donde podemos ver cómo es la respuesta y estabilidad del sistema que hemos estado desarrollando durante el transcurso del semestre, por lo que voy a hacer un análisis en tiempo y frecuencia del circuito RLC en función de sus parámetros físicos utilizando el paquete de control de Octave.

Primero que nada, expongo el circuito RLC que hice en el modelo matemático.

En donde, sacamos una función de transferencia en la cual obtuvimos el siguiente resultado.

En donde como definimos, la L es la inductancia, R la resistencia y la C la capacitancia, por lo que podemos decir que esta función de transferencia está dada por sus parámetros físicos, pero para poder realizar el análisis en necesario tener las multiplicaciones de entrada y salida en función de s por lo que he multiplicado y agrupado para entender mejor el sistema.

 Para tener como resultado una nueva función de transferencia equivalente a la anterior.

Esta sería la función de transferencia desde la entrada a voltaje de salida, por lo que podemos decir que en base a el libro de Ogata [1] de control moderno, para observar el comportamiento de nuestro circuito es necesario tener nuestro sistema en una frecuencia de 1 rad/s, por lo que podemos utilizar la inductancia y la capacitancia en un valor de uno y la variar resistencia del voltaje para saber como cámbia el sistema.

Entonces, para poder analizar la frecuencia de respuesta del circuito vamos a desarrollar una grafica Bode, herramienta que nos sirve de apoyo para investigar si el flujo de voltaje con características RLC esta generando una frecuencia estáble, por lo que primero tenemos que definir la función de transferencia e igualar los valores R, L, C en su valor minimo (En este caso puse un 1), para luego generar un diagrama bode en donde  luego de estar variando la R, genero una pequeña animación para observar el comportamiento.

Podemos decir que respuesta en frecuencia es la respuesta del sistema que estamos observando en base a una entrada seno, por tanto, en el diagrama de bode podemos ver dos gráficas en donde en la parte superior vemos la representación en decibelios en contra una frecuencia logarítmica y en la parte inferior vemos los grados en contra una frecuencia logarítmica

Los valores R del 1 al 14

 Podemos ver que hace cambios en frecuencia más drásticamente.

Los valores R del 15 al 100

Ahora, hace cambios de frecuencia menores en cada cambio de R.

Como definimos, tenemos un circuito RLC en donde tiene una ganancia máxima a frecuencia de 1 rad / s, en la parte media del de la representación de decibelios, pero vemos que la atenuación a nivel R = 2 ohms en frecuencia de 10 rad/s es de -60dB, luego en R = 14 ohms en frecuencia 10 rad/s es de -70dB, mientras que en R = 100 ohms tenemos una atenuación de -100dB, por lo que podemos decir que una R = 100 ohms podemos tener una ateniación más estrecha an base a la frecuencia de destino de 1 rad /s.

En base a [2], podemos decir que el punto crítico para medir la estabilidad de un sistema de control es el tener en un paso en la gráfica en -180 grados en la parte inferior y en la parte superior el paso de la linea en 0dB de manera que caigan de manera semejante, por lo que según mi punto de vista, este sistema no tiene una estabilidad ya que en la parte superior de magnitud nunca tenemos 0dB ni aunque la R = 1 menos en R = 100.

Ahora voy a realizar el análisis del tiempo de respuesta del circuito, en donde como podemos ver que en donde tenemos un mayor cambio de atenuación en el circuito es en R=15, vamos a sacar el análisis de tiempo en base a la función lsim() de octave la cual, calcula como evoluciona las salidas del sistema en conjunto con los estados de las entradas,  es como si fuera una versión especial de step() en donde vemos los cambios, pero en cambio en lsim, estamos simulando el tiempo de respuesta producido de un sistema dinamico de control.

Las ondas nunca son atenuadas después o antes de 1 rad / seg, por lo que podemos decir que hemos tenido una respuesta no satisfactoria en base a el tiempo de respuesta, ya que si tuvieramos un sistema estable, veriamos una variación después de cierto tiempo, podemos ver que se generan gráficas de la misma magnitud.

Ahora les dejo el programa que hice para hacer estas gráficas y el análisis.




Por lo que podemos ver que en ninguno de los dos análisis que realizamos, obtuvimos resultados no satisfactorios, podemos concluir que mi sistema no es estable, considero, ahora que he estado leyendo sobre estabilidad y sobre lo que debería de hacer mi sistema, es que mi función de trasferencia está dada por factores físicos y por el sistema armónico, como lo describí en el modelado matemático, tal vez se necesite una forma de que el sistema armónico lo tengamos que poner en base a los factores físicos del RLC y tener así un sistema con una respuesta estable satisfactoria, ya que el sistema está siendo afectado directamente por las funciones trigonométricas que tengo de manera de salida.


Bibliografia.
[1] Chapter 3: Mathematical Modeling of Electrical Systems, Modern Control Engineering, Fifth Edition, Katsuhiko Ogata.
[2] Stability margins, models estim control, link
[3] Analyzing RLC Circuit, R2012b, link

Lab 4: Factor de amortiguamiento relativo del sistema

La siguiente figura que se muestra a continuación es un diagrama de bloques del sistema de control de altitud de un vehículo espacial.

Suponiendo que la constante de tiempo T del controlador es de 3 seg y que la razón K/J es de 2/9 rad2/seg2, encuentre el factor de amortiguamiento relativo del sistema.

Capturemos los datos:

Después, según la álgebra de bloques, vamos a sacar la función de tranferencia del sistema de control de altitud del vehículo espacial.

Multiplicamos las constantes.

Ponemos de fórmula de modo que tengamos constantes de K/J para poder sustituir.

Sustituimos con los valores dados en el problema.

Como necesitamos el  factor de amortiguamiento relativo del sistema, y sabemos que podemos con lo anterior relacionar la frecuencia natural no amortiguada Wn y el símbolo del factor de amortiguamiento, algo importante es dejar las J del mismo valor para poder sustituir, tenemos que:

Podemos sacar el factor de amortiguamiento relativo del sistema con la siguiente fórmula.

Sustituyendo:

Este sería nuestro resultado.

Reporte 2: Diagrama de bloques

Como hemos visto en la clase de automatización, nosotros por medio de un modelo matemático estamos intentando controlar el audio a través del ruido ambiental, esta la podemos llamar planta, todo generando cierta salida, nosotros lo que debemos es diseñar en el sistema es comparar una referencia con la salida que generamos, a esto se le llama control.

Lo que pretendemos es calcular el error de lo que deseamos en términos de cuanto diferencia hay, si el error es pequeño, es importante agregar una amplificación para poder fácilmente detectar el error que estamos teniendo, lo que quiere es que ese error desaparezca y la salida se apegue a la referencia que tenemos, la señal de control entra a un actuador que va a aumentar el volumen, cambiando según el ruido detectado por el sensor.

Como en mi tarea anterior del modelado matemático del sistema, vamos a sacar un diagrama de bloques para ver de una manera más simple y entender a profundidad el mismo que estamos desarrollando.

Entonces, vamos a expresar estas funciones del reporte anterior en un diagrama de bloques, o sea que es lo que va a pasar internamente del sistema de control, cual va a ser la señal de salida y que va a producir la señal de entrada lo definimos como los componentes del circuito y del micrófono, la señal de salida armónico simple generado del micrófono, al sobrepasar un cierto umbral éste va a cambiar su volumen y generar un audio más estable.

Tenemos el siguiente diagrama de bloques

Como podemos ver, esto no nos muestra mucha información a nuestro sistema, lo que necesitamos es expresar el sistema en bloques más pequeños, para eso voy a maximizar este diagrama, en base a la álgebra de bloques, vista en el libro de control moderno de Ogata.

 En donde vemos que, las cajas son las funciones generadas por medio de la función de transferencia y las flechas son el flujo de la señales de una función a otra, generando un diagrama de bloques lineal en donde siempre sumamos o restamos dichas funciones.

Es importante remarcar, que las señales no se reparten si no que se replican, lo que entra es la variable de la función para producir las salidas entrando R(s) y C(s), combinando bloques en serie, paralelos, retroalimentado.

Referencias.
Ogata, control moderno liga.
Modelado matemático, blog. liga.

Lab 3: Diagrama de bloques

Para el tercer laboratorio de automatización se nos pide que simplifiquemos el diagrama de bloques que aparece en la figura 3.72 del libro de Ingeniería de control moderna, en donde vamos a obtener la función de transferencia en lazo cerrado C(s)/R(s).

Primero que nada, tenemos el siguiente diagrama:

En este diagrama de bloques tenemos un sistema de lazo cerrado ya que la salida C(s) se realimenta en algún punto, en este caso en las Hs y en donde tenemos diagramas que se forma por los puntos de suma, bloques y puntos de ramificación.

Entonces primeramente, lo que se nos pide es reordenar para simplificar el diagrama, entonces basandonos en las reglas de algebra de bloques, tenemos que si tenemos un punto de sumas en donde H1 y H2 podemos simplificarlo en una resta ya que tenemos un sistema en paralelo.

Ahora podemos decir que en base a la algebra de bloques que un punto de suma lo podemos mover al no alterar el resultado de entrada y salida de los bloques, por lo que los puntos de suma que se encuentran el el diagrama los podemos alternar para luego obtener una suma.

Ahora puse explicitamente la suma del diagrama y la algebra de bloques nos dice que al momento de tener un diagrama retroalimentado de lazo cerrado podemos dividir su contenido, por lo que generamos lo siguiente.

Ahora tenemos el sistema en cascada por lo que podemos multiplicarlo y obterner como resultado la función de transferencia del lazo cerrado.

Esta seria mi entrada de laboratorio de automatización en donde aprendí a realizar una simplificación de diagramas de bloques para poder obtener una función de transferencia.

Reporte 1: Modelado matemático

Para el primer reporte de automatización y control de sistemas dinámicos necesitamos modelar matemáticamente hablando el sistema que vamos a desarrollar en este semestre, en mi caso vamos a realizar el modelado matemático de un sistema que permita controlar el volumen de un audio en base al ruido que se encuentra en el entorno, por lo que he generado un circuito el cual tiene como entrada un micrófono condensado el cual es el que considero podemos utilizar en nuestro proyecto.

Circuito.

Para entender un poco mas mi proyecto estuve investigando como funciona el micrófono condensado para ponerlo en nuestro Arduino, el cual es el que vamos a utilizar para capturar la entrada de esto, yo quise primero realizar el circuito para saber como se iba a conectar.

Entrada.

En lo que corresponde al modelado matemático, como pueden ver en el circuito, para poder hacer funcionar el micrófono necesitamos de un capacitor y de una resistencia de forma paralela, por lo que para el modelado matemático, debemos de tener encuenta que las leyes básicas que rigen los circuitos eléctricos son la ley de Kirchhoff y la ley de voltaje, por lo que podemos concluir que:

En donde podemos decir que:

• R = Resistencia 
• i = Corriente
• C = Capacitancia

La ley de Kirchhoff o ley nodo, establece que la suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen en un nodo es cero y la ley de voltaje de Kirchhoff establece que en un momento dado de la suma algebraica de los voltajes de un bucle en un circuito es cero, por lo que un modelo matemático de un circuito eléctrico se puede conseguir mediante la aplicación de una o ambas de las leyes de Kirchhoff.

Al igual que adentro del micrófono, necesitamos saber su contenido para sacar una ecuación, para poder entender el funcionamiento y sacar su ecuación eléctrica me base en una publicación [1], asumiendo que este micrófono no está conectado a un aplificador por lo que una ecuación eléctrica del micrófono la podemos definir de la siguiente manera:

En donde podemos decir que:

• R = Resistencia 
• i = Corriente
• l = inductancia

El porqué de estas fórmulas lo podemos encontrar en las notas del capítulo 6 de aplicación de la transformada de Laplace del curso Control System Design [2].

Por lo que como podemos ver el sistema de entrada va a tener que ser la combinación de ambas la cual va a ser lo que vamos a utilizar como ei:

Salida.

Ahora para sacar la salida de este sistema, investigué sobre lo que produce el micrófono en si, por lo que podemos decir que el micrófono es descrito por el "simple harmonic motion"o en español el armónico simple del movimiento, ya que como sabemos el movimiento del aire es una ola de sonido puro, pero como podemos ver, nosotros no estamos capturando un sonido puro, por lo que necesitamos una variación de este armónico simple del movimiento, por lo que en base a un libro de trabajo Higher derivatives [3], podemos decir que un micrófono condensado necesita una C con la cual capture la capacitancia del micrófono y una constante a que sea proporcional a la amplitud de vibración de la membrana del micrófono, por lo que con una combinación entre el armónico simple del movimiento y estas variables podemos decir que la salida es:

En donde podemos decir que:

• C = Capacitancia del micrófono 
• a = proporcional de la amplitud de vibración de la membrana
• ω = la frecuencia angular (varia en respuesta al sonido)
• φ = la fase inicial 

Esta ecuación describe la salida del micrófono condensado ya que cuando el sonido alcanza la membrana esta hace que vibre, y así la capacitancia varía, por lo que se produce una corriente variable, que puede ser convertida a un voltaje, esta variación de voltaje es directamente proporcional a la onda de sonido original (que es el "análogo" del sonido) y puede ser amplificada y medida, que sería para nuestro uso de control en donde al momento de sobrepasar cierto rango especificado se aumente el volumen del aparato de sonido y el micrófono actuaría como un sensor que nos va a dar el valores para ajustar lo que queremos controlar, en este caso el sonido.

Función de transferencia.

Como saben para sacar la función de transferencia debemos de sacar las tranformadas de Laplace asumiendo que las condiciones iniciales son 0 de cada una de las formulas anteriores por lo que tenemos lo siguiente:

Para sacar las transformadas, separé la resistencia, inductancia, capacitancia y el armonico simple en sus ecuaciones y saque las transformadas de cada una, primero vamos a sacar la de la resistencia:

Ahora la de la inductancia la cual la saqué en base al teorema de la transformada de la derivada:

Ahora la de la capacitancia, la cual la saqué en base al teorema de la transformada de la integral:

Por lo tanto tenemos el siguiente resultado de entrada:

Ahora para sacar la transformada de Laplace de la salida, utilizo el seno de la suma de dos ángulos:

Ahora para sacar la función de transferencia dividimos los resultados que obtuvimos, tendiendo la siguiente solución.

Entonces esta sería nuestra función de transferencia:

Bibliografía

[1] Linear State Space Model of a Microphone, Cedric Van Holsbeke. Liga.

[2] Control Design System, Universidad de Kentucky. Liga.

[3] Salford acoustics workbooks, Universidad de Salford. Liga.

[4] Chapter 3: Mathematical Modeling of Electrical Systems, Modern Control Engineering, Fifth Edition, Katsuhiko Ogata,