Programa 1: Análisis de respuesta y estabilidad de

Para esta semana la tarea de la materia de Automatización consiste en realizar un análisis en donde podemos ver cómo es la respuesta y estabilidad del sistema que hemos estado desarrollando durante el transcurso del semestre, por lo que voy a hacer un análisis en tiempo y frecuencia del circuito RLC en función de sus parámetros físicos utilizando el paquete de control de Octave.

Primero que nada, expongo el circuito RLC que hice en el modelo matemático.

En donde, sacamos una función de transferencia en la cual obtuvimos el siguiente resultado.

En donde como definimos, la L es la inductancia, R la resistencia y la C la capacitancia, por lo que podemos decir que esta función de transferencia está dada por sus parámetros físicos, pero para poder realizar el análisis en necesario tener las multiplicaciones de entrada y salida en función de s por lo que he multiplicado y agrupado para entender mejor el sistema.

 Para tener como resultado una nueva función de transferencia equivalente a la anterior.

Esta sería la función de transferencia desde la entrada a voltaje de salida, por lo que podemos decir que en base a el libro de Ogata [1] de control moderno, para observar el comportamiento de nuestro circuito es necesario tener nuestro sistema en una frecuencia de 1 rad/s, por lo que podemos utilizar la inductancia y la capacitancia en un valor de uno y la variar resistencia del voltaje para saber como cámbia el sistema.

Entonces, para poder analizar la frecuencia de respuesta del circuito vamos a desarrollar una grafica Bode, herramienta que nos sirve de apoyo para investigar si el flujo de voltaje con características RLC esta generando una frecuencia estáble, por lo que primero tenemos que definir la función de transferencia e igualar los valores R, L, C en su valor minimo (En este caso puse un 1), para luego generar un diagrama bode en donde  luego de estar variando la R, genero una pequeña animación para observar el comportamiento.

Podemos decir que respuesta en frecuencia es la respuesta del sistema que estamos observando en base a una entrada seno, por tanto, en el diagrama de bode podemos ver dos gráficas en donde en la parte superior vemos la representación en decibelios en contra una frecuencia logarítmica y en la parte inferior vemos los grados en contra una frecuencia logarítmica

Los valores R del 1 al 14

 Podemos ver que hace cambios en frecuencia más drásticamente.

Los valores R del 15 al 100

Ahora, hace cambios de frecuencia menores en cada cambio de R.

Como definimos, tenemos un circuito RLC en donde tiene una ganancia máxima a frecuencia de 1 rad / s, en la parte media del de la representación de decibelios, pero vemos que la atenuación a nivel R = 2 ohms en frecuencia de 10 rad/s es de -60dB, luego en R = 14 ohms en frecuencia 10 rad/s es de -70dB, mientras que en R = 100 ohms tenemos una atenuación de -100dB, por lo que podemos decir que una R = 100 ohms podemos tener una ateniación más estrecha an base a la frecuencia de destino de 1 rad /s.

En base a [2], podemos decir que el punto crítico para medir la estabilidad de un sistema de control es el tener en un paso en la gráfica en -180 grados en la parte inferior y en la parte superior el paso de la linea en 0dB de manera que caigan de manera semejante, por lo que según mi punto de vista, este sistema no tiene una estabilidad ya que en la parte superior de magnitud nunca tenemos 0dB ni aunque la R = 1 menos en R = 100.

Ahora voy a realizar el análisis del tiempo de respuesta del circuito, en donde como podemos ver que en donde tenemos un mayor cambio de atenuación en el circuito es en R=15, vamos a sacar el análisis de tiempo en base a la función lsim() de octave la cual, calcula como evoluciona las salidas del sistema en conjunto con los estados de las entradas,  es como si fuera una versión especial de step() en donde vemos los cambios, pero en cambio en lsim, estamos simulando el tiempo de respuesta producido de un sistema dinamico de control.

Las ondas nunca son atenuadas después o antes de 1 rad / seg, por lo que podemos decir que hemos tenido una respuesta no satisfactoria en base a el tiempo de respuesta, ya que si tuvieramos un sistema estable, veriamos una variación después de cierto tiempo, podemos ver que se generan gráficas de la misma magnitud.

Ahora les dejo el programa que hice para hacer estas gráficas y el análisis.




Por lo que podemos ver que en ninguno de los dos análisis que realizamos, obtuvimos resultados no satisfactorios, podemos concluir que mi sistema no es estable, considero, ahora que he estado leyendo sobre estabilidad y sobre lo que debería de hacer mi sistema, es que mi función de trasferencia está dada por factores físicos y por el sistema armónico, como lo describí en el modelado matemático, tal vez se necesite una forma de que el sistema armónico lo tengamos que poner en base a los factores físicos del RLC y tener así un sistema con una respuesta estable satisfactoria, ya que el sistema está siendo afectado directamente por las funciones trigonométricas que tengo de manera de salida.


Bibliografia.
[1] Chapter 3: Mathematical Modeling of Electrical Systems, Modern Control Engineering, Fifth Edition, Katsuhiko Ogata.
[2] Stability margins, models estim control, link
[3] Analyzing RLC Circuit, R2012b, link