domingo, 2 de septiembre de 2012

Reporte 1: Modelado matemático

Para el primer reporte de automatización y control de sistemas dinámicos necesitamos modelar matemáticamente hablando el sistema que vamos a desarrollar en este semestre, en mi caso vamos a realizar el modelado matemático de un sistema que permita controlar el volumen de un audio en base al ruido que se encuentra en el entorno, por lo que he generado un circuito el cual tiene como entrada un micrófono condensado el cual es el que considero podemos utilizar en nuestro proyecto.

Circuito.
Para entender un poco mas mi proyecto estuve investigando como funciona el micrófono condensado para ponerlo en nuestro Arduino, el cual es el que vamos a utilizar para capturar la entrada de esto, yo quise primero realizar el circuito para saber como se iba a conectar.



Entrada.
En lo que corresponde al modelado matemático, como pueden ver en el circuito, para poder hacer funcionar el micrófono necesitamos de un capacitor y de una resistencia de forma paralela, por lo que para el modelado matemático, debemos de tener encuenta que las leyes básicas que rigen los circuitos eléctricos son la ley de Kirchhoff y la ley de voltaje, por lo que podemos concluir que:

En donde podemos decir que:
  • R = Resistencia 
  • i = Corriente
  • C = Capacitancia


La ley de Kirchhoff o ley nodo, establece que la suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen en un nodo es cero y la ley de voltaje de Kirchhoff establece que en un momento dado de la suma algebraica de los voltajes de un bucle en un circuito es cero, por lo que un modelo matemático de un circuito eléctrico se puede conseguir mediante la aplicación de una o ambas de las leyes de Kirchhoff.

Al igual que adentro del micrófono, necesitamos saber su contenido para sacar una ecuación, para poder entender el funcionamiento y sacar su ecuación eléctrica me base en una publicación [1], asumiendo que este micrófono no está conectado a un aplificador por lo que una ecuación eléctrica del micrófono la podemos definir de la siguiente manera:

En donde podemos decir que:
  • R = Resistencia 
  • i = Corriente
  • l = inductancia
El porqué de estas fórmulas lo podemos encontrar en las notas del capítulo 6 de aplicación de la transformada de Laplace del curso Control System Design [2].

Por lo que como podemos ver el sistema de entrada va a tener que ser la combinación de ambas la cual va a ser lo que vamos a utilizar como ei:

Salida.
Ahora para sacar la salida de este sistema, investigué sobre lo que produce el micrófono en si, por lo que podemos decir que el micrófono es descrito por el "simple harmonic motion"o en español el armónico simple del movimiento, ya que como sabemos el movimiento del aire es una ola de sonido puro, pero como podemos ver, nosotros no estamos capturando un sonido puro, por lo que necesitamos una variación de este armónico simple del movimiento, por lo que en base a un libro de trabajo Higher derivatives [3], podemos decir que un micrófono condensado necesita una C con la cual capture la capacitancia del micrófono y una constante a que sea proporcional a la amplitud de vibración de la membrana del micrófono, por lo que con una combinación entre el armónico simple del movimiento y estas variables podemos decir que la salida es:



En donde podemos decir que:
  • C = Capacitancia del micrófono 
  • a = proporcional de la amplitud de vibración de la membrana
  • ω = la frecuencia angular (varia en respuesta al sonido)
  • φ = la fase inicial 
Esta ecuación describe la salida del micrófono condensado ya que cuando el sonido alcanza la membrana esta hace que vibre, y así la capacitancia varía, por lo que se produce una corriente variable, que puede ser convertida a un voltaje, esta variación de voltaje es directamente proporcional a la onda de sonido original (que es el "análogo" del sonido) y puede ser amplificada y medida, que sería para nuestro uso de control en donde al momento de sobrepasar cierto rango especificado se aumente el volumen del aparato de sonido y el micrófono actuaría como un sensor que nos va a dar el valores para ajustar lo que queremos controlar, en este caso el sonido.

Función de transferencia.
Como saben para sacar la función de transferencia debemos de sacar las tranformadas de Laplace asumiendo que las condiciones iniciales son 0 de cada una de las formulas anteriores por lo que tenemos lo siguiente:



Para sacar las transformadas, separé la resistencia, inductancia, capacitancia y el armonico simple en sus ecuaciones y saque las transformadas de cada una, primero vamos a sacar la de la resistencia:


Ahora la de la inductancia la cual la saqué en base al teorema de la transformada de la derivada:


Ahora la de la capacitancia, la cual la saqué en base al teorema de la transformada de la integral:



Por lo tanto tenemos el siguiente resultado de entrada:


Ahora para sacar la transformada de Laplace de la salida, utilizo el seno de la suma de dos ángulos:



Ahora para sacar la función de transferencia dividimos los resultados que obtuvimos, tendiendo la siguiente solución.


Entonces esta sería nuestra función de transferencia:




Bibliografía
[1] Linear State Space Model of a Microphone, Cedric Van Holsbeke. Liga.
[2] Control Design System, Universidad de Kentucky. Liga.
[3] Salford acoustics workbooks, Universidad de Salford. Liga.
[4] Chapter 3: Mathematical Modeling of Electrical Systems, Modern Control Engineering, Fifth Edition, Katsuhiko Ogata, 

1 comentario:

  1. Ecuaciones de miedo. Te pongo los 10 porque no las quiero checar :P

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