Tarea 2: Procesos estocásticos discretos y contínuos

Podemos decir que, cuando en una X empresa se generan diferentes productos, por ejemplo, zapatos en una máquina constructora, es normal pensar que podríamos tener productos de los cuales tengan fallas y si en un futuro se nos llega a presentar este tipo de problema, podemos argumentar que este es modelo escolástico ya que  es tomado como un dato al azar y se relacionan las variables por funciones probabilisticas en donde consideramos que si tenemos un fallo seria un éxito y un fracaso el no tenerlo, si el interés de esta empresa es saber de una cierta cantidad de productos encontrar el numero de productos con fallos, tenemos que realizar un análisis de distribución binomial  

Como lo vimos en clase, el experimento de Bernoulli es un experimento que se hace aleatoriamente con solamente dos resultados, esto es si tenemos éxito o tenemos fracaso, por lo que la probabilidad del éxito le podemos decir p y la probabilidad seria un 1 - p, al cual podemos decir que es un binario en el cual 1 es éxito y 0 es fracaso, por lo que cuando realizamos el experimento de Bernoulli, se cuenta el numero de éxitos que tenemos en solamente un experimento.

Aplicado en el ejemplo que he propuesto, si se nos pide que tomemos solamente un zapato al azar y examinarlo para decidir si este producto tiene falla o no, por lo que este es un experimento de Bernoulli, pero tengo bien definido que únicamente voy a escoger un solo zapato de estos, en el caso del uso de la distribución binomial tenemos que tener en cuenta cuantos éxitos tenemos en repitiendo varias veces el experimentos de Bernoulli, en donde entonces podemos argumentar que el experimento viene siendo base para el binomial.

Proponiendo que, si el 17% de los zapatos hechos en la empresa tienen fallas, podemos decir que X es el número de zapatos con falla de una caja con 6 pares (o sea, 12 zapatos o productos). Considerando que X es el número de éxitos en 12 experimentos de Bernoulli separados con un parámetro de 0.17.

En una variable binomial, tenemos dos parámetros base los cuales son n, que es el número de experimentos que vamos a necesitar y p que es la probabilidad que tenemos de una respuesta favorable o éxito. Por lo que en el ejemplo propuesto podemos decir que X es una binomial con n = 17 y p = 0.17

Entonces en esta imagen, podemos ver que, como la probabilidad de P[X = 0] = 1 - p, P[X = 0] = 0.83 y como tenemos 12 zapatos y que cada uno tiene su probabilidad de que sea bueno de 0.83 por lo que la probabilidad es 0.83 ¹² = 0.1068

Si por ejemplo se nos pide encontrar la probabilidad de que tengamos solamente un zapato con fallo, podemos decir que P[X = 1] es de 12 * 0.17 * 0.83 ¹¹ = 0.262, en donde el 12 es el numero de veces que vamos a hacer el experimento porque son 12 zapatos, el 0.17 la probabilidad de que haya un fallo y el 0.83¹¹ los zapatos restantes.

Si P[X = 2] entonces es cuando la probabilidad de que haya solamente dos fallas, por lo que podemos ver que P[X = 2] es de 0.17² * 0.8310 pero ahora multiplicado por el número que se necesita para que los zapatos se cambien en diferentes posiciones con fallas, por lo que este numero lo podemos sacar con el coeficiente binomial, en donde tenemos el numero de subconjuntos que hay en un conjunto, en este caso bincoeff(12, 2) = 66, el cual utiliza la formula

Por lo que al ver estos casos podemos argumentar la formula.

• P[X = 0] = bincoeff( 12, 0) * 0.83 ¹²
• P[X = 1] = bincoeff( 12, 1) * 0.17 * 0.83 ¹¹
• P[X = 2] = bincoeff(12, 2) * 0.17² * 0.83¹⁰
• ….. etc….

Por lo que en general tenemos que.

P[X = k] = bincoeff(12, k)* 0.17^k * 0.083^12-k

en donde k = 0, 1, 2, 3, 4 …. 12.

Por lo que decimos que la función probabilidad de la distribución binomial

en donde k = 0, 1, 2, …., n.

Entonces vemos que este cuenta el número de éxitos que tenemos en n repeticiones que se hacen en un experimento de Bernoulli con probabilidad de éxito p.

Con el problema dado, he generado con el código que vimos en la clase (aquí) una gráfica.

En esta gráfica vemos la comparación con las diferentes probabilidades en la distribución binomial.

Version continua.

Podemos decir que la version continua de la distribución binomial es la distribución normal puede ser por ejemplo si se nos pide sacar el plastico del zapato tiene una distribución normal con una media de 72 y desviación tipica de 3 (medidas en micras), y si el plastico se consdera "garantizado" si el espesor del plastico esta entre 60 y 75 ¿Cual es el porcentaje de plastico de zapato que cumple con este requisito?.

Para poder realizar esto podemos utilizar octave con la función normcdf normalizando el calculo y obtener el resultado.

Entonces tenemos un resultado de 0.84 entonces el porcentaje del problema descrito con version de distribución normal es de 84.1%

Según esto, lo que modifiqué del código es que la k estuviera modificandose cada 0.1 para obtener una grafica mas definida, la verdad no estoy seguro que esté bien y espero que mis compañeros que enrealidad entendieron me puedan ayudar.

Expongo mi código.

  

Y genero esta gráfica.

Referencias

Notas de clase - Estadística - Universidad de Coruña